Функция принадлежности: что это, виды и примеры

Что такое функция принадлежности

Статья Заде «Нечёткие множества» 1965 года начинается с наблюдения: у классов, с которыми мы имеем дело в жизни, чаще всего нет точных критериев. Собака — животное, камень — нет, а морская звезда? «Высокие мужчины» — не множество в математическом смысле, и всё же такими понятиями люди думают постоянно.

Решение Заде умещается в строку. Нечёткое множество A на пространстве X задаётся функцией μA: X → [0, 1]. Она каждой точке x сопоставляет степень принадлежности: чем ближе к единице, тем прочнее x сидит в A. Если функция принимает только 0 и 1, получается обычное множество. Ничего не отменено, всё расширено.

У функции принадлежности есть свои термины, их Заде ввёл в 1973 году. Носителем называют все точки, где степень больше нуля. Высота — это наибольшая степень; если она равна 1, множество называют нормальным. Точка перехода там, где степень ровно 0,5.

Пример функции принадлежности: «молодой» и «старый»

Первый пример в статье 1965 года — «числа, много большие единицы». Заде задал шесть значений: 0 и 1 не принадлежат множеству вовсе, 5 принадлежит на 0,01, 10 на 0,2, 100 на 0,95, а 500 полностью. Описание он назвал точным, хотя и субъективным: десятка «много больше единицы на 0,2» не по природе вещей, а потому что так решили.

В меморандуме 1972 года для возраста y есть формула целиком. «Молодой» равен 1 до 25 лет, дальше степень считается как 1 / (1 + ((y − 25) / 5)²). В 30 лет в скобках 1 + 1 = 2, и степень 0,5: человек молод ровно наполовину. В 35 лет степень 0,2, в 40 лет 0,1, в 80 лет около 0,008. Кривая не обрывается никогда.

«Старый» из меморандума 1973 года устроен зеркально: ноль до 50 лет, дальше подъём. В 55 лет степень 0,5, в 60 лет 0,8, в 70 лет 0,94. Носитель «старого» занимает отрезок от 50 до 100 лет, точка перехода приходится на 55. Там же Заде предложил понимать слово «очень» как операцию над кривой: «очень старый» — это «старый» в квадрате.

Виды функций принадлежности

Форму функции выбирает тот, кто строит модель, и в этом нет ничего зазорного: так же проектировщик выбирает передаточное число. На практике встречаются несколько видов.

• Треугольная: ноль до левой точки, линейный подъём до вершины, где степень 1, и линейный спад до правой точки. Проще всего считать.
• Трапециевидная: то же, но с плоской вершиной, на которой степень равна 1 на целом отрезке. Крайний случай — «плечо», когда функция равна 1 до какой-то точки и потом спадает.
• Гладкие кривые: формула Заде для «молодого», гауссова функция. У них нет изломов, и степень убывает постепенно, не обрываясь в ноль.
• Функции второго типа: степень принадлежности сама неточна и задаётся не числом, а полосой между верхней и нижней функциями. Их рисуют как размытый треугольник.

Как функция принадлежности работает в нечётком регуляторе

Возьмём смеситель в душе. На входе температура воды, на выходе угол, на который нужно повернуть горячий кран. У «холодной» воды степень 1 до 30 °C, дальше она спадает до нуля к 38 °C. «Тёплая» задана треугольником от 32 до 44 °C с вершиной в 38. Правила простые: холодная — открыть, тёплая — не трогать, горячая — прикрыть.

Вода 35 °C. Степень «холодной» равна (38 − 35) / 8 = 0,375, «тёплой» (35 − 32) / 6 = 0,5. Одно число принадлежит двум словам сразу, и противоречия в этом нет. Каждое правило срабатывает в той мере, в какой выполнено его условие, и обрезает своё выходное множество на этом уровне. Если взять среднее вершин, взвешенное степенями, получится (0,375 · 10 + 0,5 · 0) / 0,875 ≈ 4,3 %: кран нужно чуть приоткрыть.

Самое известное применение — метро японского Сендая, открытое 15 июля 1987 года. Систему автоведения поездов сделали на нечётком управлении, и одна функция принадлежности стала в ней рукояткой: ширину плоской вершины «точности остановки» сделали зависимой от скорости. На ходу вершина широкая, и регулятор не суетится, у платформы сужается. По 11 395 остановкам среднее отклонение от отметки составило 3,57 см, и все они уложились в допуск ±50 см.

Функция принадлежности и вероятность: в чём разница

Значения от 0 до 1 похожи на вероятность, и Заде оговорил это уже в 1965 году: понятие нечёткого множества совершенно нестатистическое. Источник неточности здесь — отсутствие чётких критериев, а не случайность.

Лучшее объяснение разницы дал Ясунобу, инженер Hitachi, который возил эту математику в поезде. Возьмём фразу «в комнате жарко» при 26 °C. Если спросить десятерых и шестеро скажут «жарко», это вероятность 0,6: каждый ответил «да» или «нет». Нечёткое множество говорит о другом: один человек поднимает руку на 0,6. Спор о том, степень это или шанс, продолжался и в 1990-е и до конца не закрыт.

Где прочитать подробнее

Операции над нечёткими множествами, паровая машина Мамдани, спор 1994 года о нечёткой логике, множества второго типа и связь с алгоритмом UMAP — в выпуске «Нечёткие множества»: 60 страниц, шестнадцать работ и посчитанные примеры.

Ещё больше полезных руководств

PDF-гайд

Нечёткие множества

60 стр.|2026Новинка

PDF-гайд

Ассоциативные правила

50 стр.|2026Новинка